Les grains pˊedagogiques de l’UE 1

Il y est multiplié et signalé, à côté des déﬁnitions et théorèmes, des :

UE 11-1 : Identiﬁer une variété lisse régulière selon le mode de description

Définition 1 Une $m$ -variété différentiable est un espace topologique séparé, localement compact, à base de voisinages dénombrable et muni d’une famille $𝒜 = {(U ,x ) } ℳ α α α∈Ω⊂ℕ$ , $U α$ étant un ouvert connexe de $ℳ$ et $x = (x1 ,...,xm) α α α$ un homéomorphisme de $U α$ dans un ouvert $x (U ) α α$ de $ℝm$ , telle que :

i/ les ouverts $U α$ recouvrent $ℳ$ ,

ii/ on ait $y∘ x-1 ∈ 𝒞∞(x(U ∩ V ),y(U ∩ V))$ , pour tous $(U,x), (V,y) ∈ 𝒜 ℳ$ tels que $U∩V⁄=∅$ .

Théorème 1 (Sous-variétés ouvertes de $𝒩$ ) Soit $𝒱$ un ouvert de $𝒩$ . L’ensemble $𝒜𝒱={(U∩ 𝒱,x) : (U,x) ∈ 𝒜𝒩 }$ est un atlas sur $𝒱$ et $(𝒱, 𝒜𝒱)$ est une sous-variété ouverte de $𝒩$ qui a même dimension que $𝒩$ .

Théorème 2 (Sous-variété régulière immergée dans $𝒩$ ) Un espace topologique $ℳ$ qui $I$ -s’injecte dans $𝒩$ est une $m$ -sous-variété régulière immergée dans $𝒩$ ssi pour tout $p∈ℳ$ , $∃U ⊂ ℳ$ un voisinage de $p$ , $∃W ⊂ 𝒩$ un voisinage de $I(p)$ , $∃V ⊂ ℝm$ un ouvert et $∃φ:V→ i(U )∩W$ surjective, tels que pour tout système de coordonnées locales $y$ sur $W$ , on ait $yi∘φ = φi ∈ 𝒞∞(V,y(I(U)∩ W ))$ , $∀i = 1,...,n$ , et $rang[∂ujφi(.)]n×m = m$ partout sur $V$ .

Théorème 3 (Sous-variété régulière de niveau zéro de $𝒩$ ) Soient $k < n$ deux entiers naturels. Un espace topologique $ℳ$ dont l’image par une injection différentiable est déﬁnie par : $I(ℳ)={I(p) ∈ 𝒩 : f1(y(I(p))) = ...= fk(y(I(p))) = 0},$ où $f1,...,fk ∈ 𝒞∞(ℝn,ℝ)$ , est une $(n-k)$ -sous-variété régulière plongée dans $𝒩$ ssi on a : rang $[∂ujfi]k×n = k$ partout sur $y∘I(ℳ)$ .

Théorème 4 (Variété produit) La variété produit de $(ℳ, 𝒜ℳ)$ et de $(𝒩 , 𝒜 𝒩)$ est déﬁnie par $(ℳ×𝒩, 𝒜 ℳ×𝒩 = {(U × V, x× y) : (U,x) ∈ 𝒜 ℳ, (V,y) ∈ 𝒜𝒩 , (x × y)(p,q) = (x1(p),...,xm(p);y1(q),...,yn(q))})$ . De plus $dim(ℳ × 𝒩) = dim ℳ + dim 𝒩$ .

UE 11-2 : Déﬁnir un morphisme de variétés différentiables

Définition 2 Une fonction $f : ℳ → ℝ$ est différentiable en $p ∈ ℳ$ ssi $∀(U, x) ∈ 𝒜ℳ$ en $p$ , $f∘ x-1 ∈ 𝒞∞(x(U ),f (U ))$ (ie toutes les dérivées partielles mixtes $∂i1i1+...+iirr-(f ∘x-1) ∂u1...∂ur$ existent). Il suffit que $-1 f ∘x$ soit $∞ C$ sur une carte pour le demeurer sur toute autre carte. La fonction $f$ est dite différentiable sur $ℳ$ si elle l’est en tout point de $ℳ$ . Leur ensemble $(ℱ(ℳ),+,⋅,×)$ est une $ℝ$ -algèbre.

Définition 3 Une application $φ : ℳ → 𝒩$ est un morphisme ssi $∀(U, x) ∈ 𝒜ℳ$ en $p ∈ ℳ$ et $∀(V,y)∈ 𝒜 𝒩$ en $φ(p)$ telles que $V ⊂ φ(U)$ , on a $y ∘φ ∘x-1 ∈ 𝒞 ∞(x(U),y(V))$ . Il suffit que $y∘φ∘x- 1$ soit $C∞$ sur un couple de cartes pour le demeurer sur tout autre couple.

UE 11-3 : Différentier les vecteurs tangents et les champs de vecteurs tangents à $ℳ$

Définition 4 Un vecteur tangent à $ℳ$ en $p ∈ ℳ$ est toute application $vp : ℱ( ℳ) → ℝ$ telle que :

i/ $vp[λf + μg] = λvp[f]+ μvp[g]$ ,

ii/ $vp[fg] = f(p)vp[g]+ g(p)vp[f]$ .

L’ensemble $(ℳp, +,.)$ de tous les vecteurs tangents à $ℳ$ en $p ∈ ℳ$ un $ℝ$ -espace vectoriel.

Théorème 5 (Vecteurs tangents holonomes) Sur $(U,x)$ une carte locale en $p ∈ ℳ$ , les vecteurs tangents holonomes sont déﬁnis par : $∂xi∕p : ℱ( ℳ) → ℝ, f ↦→ ∂xi∕p[f ] = ∂ui(f ∘x-1)(x(p)).$ pour $i = 1,...,dimℳ$ . Ils forment une base de $ℳp$ .

Définition 5 Une dérivation sur une $𝕂$ -algèbre $𝒜$ est une application $D : 𝒜 → 𝒜$ telle que :

i/ $D(λa+ μb) = λD(a) + μD(b)$ ,

ii/ $D(ab) = aD(b) + bD(a)$ .

L’ensemble $(𝒟(𝒜),+,⋅,[,])$ de toutes les dérivations sur $𝒜$ est un $𝒜$ -module et une $𝕂$ -algèbre de Lie pour le crochet $[,] : 𝒟(𝒜)2 → 𝒟(𝒜)$ déﬁni par $[D1,D2] = D1 ∘ D2 - D2 ∘ D1$ .

Définition 6 Un champ de vecteurs tangents sur ℳ est toute application différentiable $V : ℳ → ∪ ℳp, p ↦→ V∕p ∈ ℳp p∈ℳ$ . En posant $V [f](p) = V∕p[f]$ , leur ensemble $(x( ℳ), +,⋅,[,]) = CL{ ∂xi, i = 1,...,m}$ est un $ℱ(ℳ)$ -module et une $ℝ$ -algèbre de Lie. La règle de la composée pour les champs de vecteurs s’écrit : $1 k 1 k j V [F (g,...,g )] = (∂~ujF)(g ,...,g )V[g ]$ , pour toutes $1 k g ,...,g ∈ ℱ( ℳ)$ et $k F∈ℱ(ℝ)$ .

UE 11-4 : Reproduire les actions sur une variété dans l’espace de représentation par le biais des applications induites

Elles rendent identiques les actions intrinsèque et extrinsèque (justiﬁant ainsi l’identiﬁcation d’une variété avec sa représentation). Les applications induites sont au nombre de 4.

Définition 7 L’application tangente, $φ*p$ ,en $p ∈ ℳ$ d’une application différentiable $φ : ℳ → 𝒩$ est $φ *p : ℳp → 𝒩 φ(p)$ telle que $φ*p(vp)[f] = vp[f ∘ φ]$ . Elle induit sur les champs de vecteurs l’application $φ* : x(M ) → x(N ) ∕ φ*(V)[f]∘φ = V[f ∘ φ]$ . Elle est linéaire et sa matrice est la matrice jacobienne de $φ$ en $p$ et s’écrit dans les bases holonomes $(U, x)$ en $p$ et $(V, y)$ en $φ(p)$ : $𝒥 (φ,p) = [φ *p(∂xj∕p)[yi]]n×m = [∂xj∕p[φi]]n×m$ . L’application $φ$ est une immersion (resp. submersion) ssi son application tangente est injective (resp. surjective). Un plongement est une immersion injective.

Définition 8 Une 1-forme sur $ℳ$ est une application $ℱ(ℳ)$ -linéaire sur les champs de vecteurs, (i.e.) $w : x(ℳ) → ℱ(ℳ) ∕ w(fX + gY ) = fw(X) + gw(Y )$ . La différentielle d’une $f∈ℱ(ℳ)$ est la 1-forme $df$ déﬁnie par $df(X) = X[f]$ . Leur ensemble $* x (ℳ)$ est le $ℱ(ℳ)$ -module dual de $x(ℳ)$ et est engendré par les différentielles des i^es fonctions coordonnées locales, $* i x(ℳ) = CL{dx , i = 1,...,m}$ .

Définition 9 L’application pull-back par une application différentiable $φ : ℳ → 𝒩$ est $φ*:x*(𝒩) → x *(ℳ)$ telle que $(φ*w)(X) = w(φ*X) ∘φ$ . Elle induit sur les 1-formes en $p$ ou en $φ(p)$ l’égalité $φ*(wφ(p))(Xp) = w φ(p)(φ*pXp)$ .

Définition 10 Un $(r,s)$ -tenseur sur $ℳ$ est une application $(r+ s)$ - $ℱ( ℳ)$ -linéaire sur l’ensemble produit $x*(ℳ)r × x(ℳ)s$ , à valeurs dans $ℱ( ℳ)$ . Leur ensemble est noté $𝒯sr (ℳ)$ et $𝒯(ℳ)= ( ⋃ 𝒯rs(ℳ), +, .,⊗) s,r$ est une $ℝ$ -algèbre, avec $(t1 ⊗t2)(A, B) := t1(A)t2(B)$ . On a

$𝒯10(ℳ) = x*(ℳ)$ ,
$𝒯01(ℳ) = x(ℳ)$ , par dualité,
$𝒯00(ℳ) = ℱ(ℳ)$ , par convention.

UE 11-5 : Induire une mesure des longueurs et des angles sur une variété à partir du système de coordonnées locales choisi

Définition 11 Une métrique riemannienne sur une variété différentiable $ℳ$ est un (0,2)-tenseur symétrique et déﬁni positif, (ie)

g ∈ 𝒯02(ℳ) tel que i/ g({X,Y ) = g(Y,X) g(X, X) ≥ 0 ii/ g(X, X) = 0 ⇐⇒ X = 0x(ℳ)

$(ℳ,g)$ est une variété riemannienne,
$g(X,Y )$ est le produit scalaire de $X$ et $Y$ ,
$∘ ------- ∥X∥= g(X,X)$ est la norme de $X$ .

Théorème 6 (Détermination) Un champ de vecteurs $X ∈ x(ℳ)$ est complètement déterminé par la connaissance de tous les produits scalaires $g(X,Y )$ , pour tous les $Y ∈ x(ℳ)$ .

Définition 12 (Dual d’une 1-forme) Le champ de vecteurs dual d’une 1-forme $ω$ est $* ω∈x(ℳ)$ tel que $* g(ω ,X) = w(X), ∀X ∈ x( ℳ)$ . Le champ de vecteurs dual de la 1-forme différentielle d’une fonction $f ∈ ℱ( ℳ)$ est le gradient de $f$ donné par $g(gradf,X) = df(X) = X[f ]$ . Les bases $(eμ ∈ x( ℳ))μ=1,...,m$ et $μ * (θ ∈ x (ℳ)) μ=1,...,m$ sont dites duales ssi $μ μ θ (eν) = δν$ , tout comme $i i i dx(∂xj) = δj = g(grad(x),∂xj)$ , d’après le théorème de décomposition fondamentale. Attention ! $μ* θ ⁄= eμ$ , en général.

Définition 13 (Métrique et éléments de calcul tensoriel) Un repère mobile sur $ℳ$ est toute base $(eμ)μ=1,...,m$ quelconque de $x(ℳ)$ . Les composantes de la métrique sont les fonctions $gμν=g(eμ,eν)$ . Elles déterminent complètement la métrique $g = gμνθμθν$ , avec

$(θμ)μ=1,...,m$ la base des 1-formes duale de $(eμ)μ=1,...,m$ ,
$θμθν : x(ℳ)2 → ℱ(ℳ), (X, Y) ↦→ 12[θμ(X)θν(Y)+ θμ(Y )θν(X)]$ le produit symétrique de $θμ$ et $θν$ .

On a alors $g(X, Y) = gμνX μY ν$ pour tous $X,Y ∈ x(ℳ)$ . La métrique étant symétrique et déﬁnie positive, sa matrice $[gμν]m×m$ possède un inverse $[gμν]m×m$ . Si $ω = ωμθμ ∈ x*(ℳ)$ , alors $ω*=gλμωμeλ := ωλeλ$ . La métrique permet donc de monter et descendre les indices.

Définition 14 (Métrique induite) La métrique $ℳ g$ induite sur $(ℳ, x)$ une sous-variété $ϕ$ -plongée dans une variété riemannienne $𝒩 (𝒩 ,y,g )$ est déﬁnie par $ℳ * 𝒩 g = ϕ g$ et sa composante $ℳ gαβ$ est le produit scalaire des vecteurs colonne $α$ et colonne $β$ de la jacobienne $-1 𝒥(x∘ϕ∘y)$ .

UE 11-6 : Déterminer la variation d’un tenseur dans la direction d’un champ de vecteurs tangents

Définition 15 Une connexion sur une variété différentiable $ℳ$ est une application $D:x(ℳ)× 𝒯sr (ℳ) → 𝒯rs (ℳ), (X, t) ↦→ DXt$ telle que, pour tout $(r,s) ∈ ℕ2$ :

i/ $DfX+gYt = fDXt + gDY t$

ii/ $DX(t1 +t2) = DXt1 + DXt2$

iii/ $DX(ft) = X[f ]t+ fDXt$

$DXt$ est la dérivée covariante de $t$ dans la direction de $X$ ,
$D$ est à torsion nulle ssi $DXY - DY X - [X, Y] = 0, ∀X,Y ∈ x(ℳ)$ (la torsion est une obstruction à la fermeture des parallélogrammes),
$D$ est métrique compatible ssi $X[g(Y,Z)] = g(DXY, Z) + g(Y,DXZ), ∀X,Y,Z ∈ x(ℳ)$ ,
$D$ est de Levi-Civita ssi elle est à la fois à torsion nulle et métrique compatible.

Théorème 7 (Existence) La connexion $∇$ sur $(ℳ, g)$ déﬁnie par l’égalité $2g(DY,Z) = X[g(Y,Z)]+ Y[g(Z, X)]- Z[g(X,Y )]- g(X,[Y,Z])+ g(Y,[Z, X])+ g(Z,[X, Y]) X$ , est la seule connexion de Levi-Civita sur $(ℳ, g)$ . La connexion de Levi-Civita sur $(ℝn,〈,〉)$ est : $ℝn∇Y:=X[Y [ui]]∂ i X u$ .

Définition 16 (Cœfficients de connexion) Les cœfficients de la connexion $D$ sur $(ℳ, g)$ et dans le repère mobile $(eμ)μ=1,...,m$ sont les fonctions $α Γ μν ∈ ℱ( ℳ)$ déﬁnies par $α Deμeν=Γμν eα$ . Si $μ (θ )μ=1,...,m$ est la base des 1-formes duale de $(eμ)μ=1,...,m$ , alors $ν να Deμθ=-Γ μα θ$ .

Les composantes de la dérivée covariante d’un tenseur $s t ∈ 𝒯r (ℳ)$ s’écrivent

β ...β (Deμt)α1...αs 1 r = eμ[∑tα1...αsβ1...βr] - ∑ si-=12 Γ μαiλtα1...αi-1λαi+1...αsβ1...βr + rj-=12Γ μλβjtα1...αsβ1...βj-1λβj+1...βr.

Définition 17 (Eléments de décomposition) Les symboles de Christoffel de la connexion $D$ sont les fonctions ${ λ } 1 λσ μν = 2g (eμ[gνσ]+ eν[gμσ]- eσ[gμν])$ , le tenseur de torsion est déﬁni par $T(X,Y,Z) = g(DXY - DY X - [X, Y],Z)$ , le tenseur non-métricité est donné par $N(X,Y, Z) = (DXg)(Y, Z)$ et les constantes de structure $cμνλ$ sont déﬁnies par $[eμ,eν]=cμνλeλ$ .

Théorème 8 (Décomposition) Pour toute connexion $D$ sur $(ℳ, g)$ , nous avons ${ } Γ λ = λ - K λ - V λ - C λ μν μν μν μν μν$ , avec $K λ = 1(- T λ - Tλ + T λ ) μν 2 μν μν ν μ$ , $λ1 λ λ Vμν=2(- N μν - N λμν + Nν μ)$ et $λ 1 Cμν = 2(- cμνλ - cλμν + cνλμ)$ .

Les cœfficients de la connexion de Levi-Civita $∇$ sur $(ℳ, g)$ dans la base liée au système de coordonnées locales se réduisent aux symboles de Christoffel de $∇$ : ${ } Γ ijk = kij$ . Soient $glq$ les composantes de la métrique induite sur $ℳ$ par les coordonnées locales $(xl) l=1,...,m$ . Alors pour $i,j$ et $k$ ﬁxés, le symbole de Christoffel ${ k } ij$ est le cœfficient du terme en $ij x˙x˙$ dans la $k x$ -équation unitaire d’Euler-Lagrange, $⌢. ∂˙xaL - ∂xaL = 0$ , déduite du lagrangien $lq L=glq˙x˙x$ .

UE 12-1 : Identiﬁer des reparamétrisations d’une même courbe différentiable

Définition 18 Une courbe $𝒞$ est une variété différentiable de dimension 1. Sa représentation $ℑ(α)$ est la trace de $𝒞$ sur $ℳ$ . Si $h$ est strictement monotone, alors $β = α ∘h$ est une reparamétrisation de $𝒞$ . Les coordonnées locales $t$ ou $s$ sont des paramètres de repérage de $𝒞$ . Les paramétrisations

( { γ : t ↦→ (cost,sint,t) , t ∈ [0,π] ( λ : t ↦→ (cos(-2t),sin(2-2t),2π - t) , t ∈ [π,2√π] ρ : t ↦→ (cost,sin t,t ) , t ∈ [0, π]

sont des reparamétrisations de la même courbe, car $λ = γ ∘ h$ et $γ = ρ ∘l$ , avec $h(t) = 2π- t$ et $√- l(t)=t$ . Par contre les paramétrisations

{ f : t ↦→ (cost,sint) , t ∈ [0,2π] g : t ↦→ (cost,sin t) , t ∈ ℝ

bien qu’ayant même trace $S1$ dans $ℝ2$ , ne sont pas des paramétrisations d’une même courbe, puisque $f-1{(1,0)}= {0,2π}$ et $g- 1{(1,0)}= 2πℤ$ .

UE 12-2 : Calcul différentiel le long d’une courbe différentiable

Définition 19 Un champ de vecteurs le long d’une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ est toute application $Y : I → Tℳ = ∪t∈Iℳ α(t)$ différentiable telle que $Y(t) ∈ ℳ α(t)$ , pour tout $t∈I$ . Le champ des vecteurs vitesses d’une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ , est le champ de vecteurs le long de $𝒞$ déﬁni par $α ′(t) = α*t(∂u∕t)$ , où $∂u$ est le champ de vecteurs lié au système de coordonnées cartésiennes sur $ℝ$ . Pour $β = α ∘h$ une reparamétrisation de la courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ , on a : $β′ = ˙h(α′ ∘h)$ .

Définition 20 (Courbe intégrale d’un champ) Une courbe intégrale d’un champ $X∈x(ℳ)$ est une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ telle que $α ′(t) = Xα(t)$ , pour tout $t∈I$ . Les courbes $xi$ -paramétrée $γ : t ↦→ x-1(x1,...,xi-1,t,xi+1,...,xm ) 0 0 0 0$ , où les $xj 0$ sont des constantes, sont des courbes intégrales du champ $∂ i x$ .

Lemme 1 Soient $𝒞$ une courbe paramétrisée par $α : I → ℳ$ et deux champs $Y,Z ∈ x(ℳ)$ tels que $Yα(t) = Zα(t)$ , pour tout $t ∈ I$ . Soit $X ∈ x(ℳ)$ tel que $′ X ∕α(t) = α (t)$ , pour tout $t∈I$ . Alors $(∇XY )∕α(t) = (∇XZ) ∕α(t)$ .

Définition 21 Soient une courbe $𝒞$ paramétrisée par une injection $α : I → ℳ$ et régulière (i.e.) $∥α′(t)∥⁄=0, ∀t ∈ I$ ), et $Y$ un champ de vecteurs le long de $𝒞$ . Notons $Y~∈ x(ℳ)$ un champ tel que $Y(t) = ~Y∕α(t)$ , pour tout $t ∈ I$ . Alors la dérivée covariante de $Y$ le long de la courbe $𝒞$ est déﬁnie par $Y ′(t) = (∇~α′~Y )∕α(t)$ et vériﬁe :

i/ $(Y+Z) ′ = Y ′ +Z ′$

ii/ $(fY)′ = f˙Y + fY ′$

iii/ $(Y∘h)′ = h˙(Y ′ ∘h)$ , avec $h$ strictement croissante.

L’accélération d’une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ est le champ de vecteurs le long de $𝒞$ déﬁni par

[ { } ] t ↦→ α′′(t) = (∇ α^′) = ¨αk(t)+ k (α(t)) ˙αi(t)˙αj(t) ∂k . ^α′ ∕α(t) ij x∕α(t)

Pour toute reparamétrisation $β = α ∘h$ de $𝒞$ , on a $′′ 2 ′′ ′ β = ˙h (α ∘h)+ ¨h(α ∘ h)$ .

UE 12-3 : Déterminer les plus courts chemins reliant 2 points d’une variété différentiable par la méthode de Clairaut

Définition 22 Soit $𝒞$ une courbe différentiable paramétrisée par $α : [a,b] → ℳ$ . Alors la longueur de $𝒞$ est déﬁnie par $∫b ′ ℓα(𝒞) = a ∥α (t)∥dt$ et est invariante par reparamétrisation. La longueur d’arc d’origine $a ∈ I$ est le paramètre $s$ déﬁni par $∫t s = ℓ(t) = a ∥α′(v)∥ dv$ . Le paramètre longueur d’arc est unique au sens de parcours de la courbe près. Toute courbe régulière possède une reparamétrisation par la longueur d’arc. Réciproquement toute courbe reparamétrisable par la longueur d’arc est régulière. En outre, toute courbe paramétrée par la longueur d’arc est de vitesse unitaire en tous ses points.

Définition 23 Une géodésique est une courbe régulière de longueur minimale parmi toutes les courbes différentiables joignant deux quelconques de ses points. Les géodésiques sont donc les courbes régulières extrémales de la fonctionnelle de longueur $∫ ℒ1 : α ↦→ Dα ∥α′(t)∥ dt$ . Les extrémales de $ℒ1$ paramétrées par la longueur d’arc, sont aussi les extrémales de la fonctionnelle d’énergie $∫ ℒ2:α↦→Dα 12∥α′(t)∥2dt$ .

Théorème 9 Une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ est une géodésique ss’il existe $f∈ℱ(I)$ , telle que $α ′′ = fα′$ , avec $f = 0$ lorsque $𝒞$ est paramétrée par la longueur d’arc. Ce sont les équations géodésiques. La théorie des équations différentielles ordinaires implique donc qu’une géodésique paramétrisée par $α$ autour de $t0$ est déterminée de façon unique par la donnée des conditions initiales $α(t0)$ et $α′(t0)$ .

Les équations géodésiques sont en général difficiles à résoudre explicitement. Il existe pourtant deux cas importants où leur résolution se réduit à celle d’une équation différentielle du premier degré à variables séparées.

Définition 24 (Coordonnées de Clairaut) Soit une variété riemannienne $(ℳ, g,∇)$ avec $2 2 g=E(u,v)du + 2F(u,v)dudv+ G(u,v)dv$ . Alors, avec la notation $Ev := ∂v[E]$ , on a

i/ $x=(u,v)$ est un $u$ -système de Clairaut ssi $Ev = Gv = F = 0$ .

ii/ $x=(u,v)$ est un $v$ -système de Clairaut ssi $Eu = Gu = F = 0$ .

Théorème 10 Soit $x = (u,v)$ un $v$ -système de Clairaut sur $(ℳ, g = E(v)du2 + G(v)dv2,∇)$ et $𝒞$ une courbe paramétrisée par $α : I → ℳ$ . Posons $ξ= u ∘α$ et $ζ = v∘α$ , on a :

i/ Les équations géodésiques sur $ℳ$ s’écrivent

{ ′ Σ ξ : ¨ξ + EE((ζζ)) ˙ξ˙ζ = 0 Σ ζ : ¨ζ - E′(ζ)˙ξ2 + G-′(ζ)ζ˙2 = 0. 2G(ζ) 2G(ζ)

ii/ Toute courbe $𝒞$ , $v$ -paramétrisée sur $ℳ$ , est une géodésique.

iii/ Une courbe $𝒞$ , $u$ -paramétrisée sur $ℳ$ , est une géodésique ssi $E ′(ζ) = 0$ .

iv/ Toute géodésique $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ vériﬁe la relation de Clairaut :

---- ∘ E(ζ)∥α′∥cos(α^′,∂u)∘α = E(ζ)˙ξ = cste.

v/ Une courbe $𝒞$ est une géodésique sur $ℳ$ paramétrée par la longueur d’arc, ss’il existe une constante $c$ telle que

∘ --------- ˙ --c- ˙ E(-ζ)--c2 ξ = E(ζ) etζ = ± E( ζ)G( ζ).

vi/ Une courbe $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ, t ↦→ x-1(ξ(t),ζ(ξ(t)))$ est une géodésique, ss’il existe une constante $c$ telle que

∘ -------------- dζ 1 E(ζ)[E( ζ)- c2] dξ = ± c ----G(-ζ)----,

qui est une équation différentielle du premier ordre à variables séparées.

UE 12-4 : Savoir calculer et interpréter la courbure géodésique et la torsion d’une courbe régulière

Définition 25 Soit $𝒞$ une courbe paramétrisée par $β : J → ℳ$ de vitesse unitaire. On déﬁnit la suite maximale alternée de champs de vecteurs unitaires et de fonctions positives le long de la courbe $𝒞$ , $(e1= β′,k1,e2,k2,...,eρ-1,kρ-1,eρ)$ , où $ρ ≤ m$ et $ei(s)$ n’existant que si $ki-1(s) ⁄= 0$ pour tout $i ≥ 2$ , par les formules de Frenet :

⌊ ⌋ 0 k1 0 0 || - k1 0 k2 0 || ⌊ ′ ⌋ || 0 - k2 0 k3 || ⌊ ⌋ | e.1 | || ... || | e.1 | ⌈ .. ⌉ = || . || ⌈ .. ⌉ e′ρ || .. || eρ || 0 kρ-2 0 || ⌈ - kρ-2 0 kρ-1 ⌉ 0 - kρ-1 0

$(e1,...,eρ)$ est le repère de Frenet de $𝒞$ et il est orthonormé,
$k1,...,kρ-1$ sont les courbures de Frenet de $𝒞$ ,
$(β(s),CL{e1,...,ei}) := Osciβ(s)$ est le $i$ ^e plan osculateur en $β(s)$ de $𝒞$ , pour tout $i≤ρ$ ,
Si $ρ= m$ , alors la courbe $𝒞$ est dite tordue dans $ℳ$ ,
$k1$ est la courbure géodésique ( $k1 = 0$ indique que la courbe est une géodésique) de la courbe $𝒞$ ,
$km-1$ est la torsion de la courbe $𝒞$ .

Théorème 11 Si $(e1,...,eρ)$ est le repère de Frenet de $𝒞$ , alors $𝒞$ peut être plongée dans une sous-variété géodésiquement plate le long de $𝒞$ et de dimension $ρ$ de $ℳ$ .

Théorème 12 Soit $𝒞$ une courbe régulière paramétrisée par $α : I → ℳ$ , avec $ℳ$ une variété orientée positivement. La courbure et la torsion de $𝒞$ s’expriment :

i/ Si $dim ℳ = 2$ , alors $∣g(α′′,𝒥α′)∣ k1[α] = --∥α′∥3--.$

ii/ Si $dim ℳ = 3$ , alors ${ k1[α] = ∥α∥′∧αα′∥′3′∥- k [α] = ∣g(α′∧α′′,α′′′)∣. 2 ∥α′∧α′′∥2$

Exemple 1 Soit $Γ$ une courbe régulière, non géodésique et paramétrisée dans $ℝ2$ par $γ$ . Peut-on réduire la codimension de la courbe $𝒞$ paramétrisée dans $ℝ3$ par $α : t ↦→ (γ(t),t)$ ?

On a $∥α′(t)∥2 = ∥γ′(t)∥2 + 1$ , $∀t$ . La courbe $𝒞$ est donc régulière. Puisque la courbe $Γ$ est régulière par hypothèse, on peut supposer, sans perte de généralité, que le paramètre $t$ est la longueur d’arc pour $Γ$ . Ainsi

et une paramétrisation de $𝒞$ par la longueur d’arc est donc $-s- -s- β : s ↦→ (γ(√2),√2)$ . Par suite, si $(ε1,l1,ε2)$ sont le repère et la courbure de Frenet de $Γ$ , alors $( ) ( )( ) εε′1′ = -0l l10 εε1 2 1 2$ et

La courbe $𝒞$ est donc tordue dans $ℝ3$ et sa codimension ne peut être réduite.

UE 12-5 : Savoir calculer et interpréter la courbure normale et la torsion géodésique d’une courbe régulière

Théorème 13 L’application $A : x(ℳ)2 → ℱ(ℳ)$ , $(X,Y ) ↦→ ˉg(∇ˉϕ*Xν,ϕ*Y )∘ϕ$ est une forme bilinéaire symétrique, appelée seconde forme fondamentale sur $ℳ$ . La composante $hμρ$ de $A$ est l’opposé du produit scalaire de la normale unitaire aux vecteurs colonnes de la jacobienne $𝒥(I)$ par le vecteur $μ$ ^e dérivée de la colonne $ρ$ de $𝒥 (I)$ .

Théorème 14 (Relation de Gauss) La connexion de Levi-Civita $∇$ induite sur $ℳ$ par celle $ˉ∇$ sur $𝒩$ est déﬁnie par : $ˉ∇ϕ*Xϕ *Y = ϕ*(∇XY )- A(X, Y)∘ ϕ-1 ⋅ν$ .

Définition 26 Soit $𝒞$ une courbe paramétrisée par $β : J → ℳ$ de vitesse unitaire et notons $(e1,k1,...,eρ-1,kρ-1,eρ)$ le repère et les courbures de Frenet de la courbe $𝒞$ . On déﬁnit alors $(ϕ*~ei,ν)i=1,...,ρ$ comme étant le repère de Darboux et les courbures de Darboux par $A(^β′,~ei)∘β$ , pour $i = 1,...,ρ$ . Les formules de Darboux s’écrivent donc

⌊ 0 ~k 0 0 ⋅⋅⋅ 0 0 0 -A(~β′,~e ) ⌋ ⌊ ⌋ || -~k1 01 ~k2 0 ⋅⋅⋅ 0 0 0 -A(^β′,~e12) || |ˉ∇ϕ*^β′ϕ*~e1 | ||| 0 -~k2 0 ~k3 ⋅⋅⋅ 0 0 0 -A(^β′,~e3) ||| ⌊ ϕ*~e1 ⌋ ||... ||=|| ... ... ... ... ... ... ... ... ... ||∘ϕ-1|| .. || ||⌈ˉ∇ϕ*^β′~eρ ||⌉ ||| 0 ⋅⋅⋅ 0 ~kρ-2 0 -A(^β′,~eρ-2)||| |⌈ ϕ.*~eρ |⌉ ˉ∇ϕ*^β′ν ||| 0 ⋅⋅⋅ -~kρ-2 0 ~kρ-1 -A(^β′,~eρ-1)||| ν ⌈ ^0′ ⋅⋅⋅ 0 -~kρ-1 ^0′ -A(^β′,~eρ) ⌉ A(β,~e1) ⋅⋅⋅ A(β ,~eρ) 0

Définition 27 Une courbe régulière $𝒞$ paramétrisée par $α : I → ℳ$ est dite asymptotique ssi $ˉ∇ϕ*^α′ϕ*^α′ ∈ x( ϕ(ℳ))$ (ie, son accélération en représentation deuxième n’a pas de composante normale).

Théorème 15 Une courbe est asymptotique ssi sa courbure normale est nulle. On dit aussi qu’elle est asymptotiquement plate pour signiﬁer que sa courbure géodésique est invariante par rapport aux représentations première et deuxième (confère l’égalité $k[β]2 = k1[β]2 + knor[β]2 = k1[β]2$ ). L’équation asymptotique s’écrit $(hij ∘ α)˙αi˙αj = 0$ .

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